dodatkowe uprawnienia
-
14696 -
11877 -
101969 -
8532
139095 plików
1710,49 GB
Foldery
Ostatnio pobierane pliki
Dywan, Trójkat i Piramida Sierpińskiego; Płatek śniegu (krzywa von Kocha)
zebrał i przygotował:
saj5
saj5
— Wacław Sierpiński (1882-1969) —
Wacław Sierpiński: – należy do najwybitniejszych polskich matematyków. Jest współtwórcą Polskiej Szkoły Matematycznej. Jego największe osiągnięcia dotyczą teorii liczb. Opowiem Wam Tu tylko o dziwnych zbiorach, które on skonstruował. Jest ich bardzo dużo. Wybrałem tylko trzy spośród nich to jest: dywan, piramidę i trójkąt.
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć mniejszych kwadratów (3x3), usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów. Tyle Encyklopedia.
— Jak Konstruuje się Dywan Sierpińskiego —
Najpierw rysujemy kwadrat , który dzielimy na dziewięć równych części i usuwamy środkowy kwadrat.
Następnie.
Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych części i usuwamy znowu środkowe kwadraciki.
Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych części i usuwamy znowu środkowe kwadraciki.
Kolejne kroki są następujące:
W kolejnych krokach postępujemy podobnie jak poprzednio. Po n krokach kwadrat będzie miał, aż 1+8+82+83+ .... +8n-1 dziur, którymi to dziurami są usunięte kwadraty, które są różnej wielkości. Rysunek poniżej pokazuje dywan po 5 krokach konstrukcyjnych.
W kolejnych krokach postępujemy podobnie jak poprzednio. Po n krokach kwadrat będzie miał, aż 1+8+82+83+ .... +8n-1 dziur, którymi to dziurami są usunięte kwadraty, które są różnej wielkości. Rysunek poniżej pokazuje dywan po 5 krokach konstrukcyjnych.
Jakie jest pole powierzchni dywanu Sierpińskiego?
ponieważ w kolejnych krokach przy tworzeniu dywany Sierpińskiego z każdego nowo utworzonego podziału na kwadraty usuwamy jeden kwadrat środkowy, przypomnijmy, że dywan Sierpińskiego otrzymamy po nieskończenie wielu krokach – czyli po usunięciu nieskończenie wielu kwadratów. Suma pól powierzchni wszystkich usuniętych kwadratów tworzy więc ciąg geometryczny którego suma skończonej ilości wyrazów(ale dużej ilości) będzie równa: a1+a2+ ... +an =
. Aby policzyć pole powierzchni dywanu Sierpińskiego należy od pola powierzchni kwadratu narysowanego w pierwszym kroku, odjąć sumę pól powierzchni wszystkich usuniętych kwadratów – czyli przy nieskończonej ilości powtórzeń suma pól powierzchni odjętych kwadratów będzie równa polu powierzchni kwadratu podstawowego, więc pole powierzchni dywanu Sierpińskiego jest równe ZERO.
ponieważ w kolejnych krokach przy tworzeniu dywany Sierpińskiego z każdego nowo utworzonego podziału na kwadraty usuwamy jeden kwadrat środkowy, przypomnijmy, że dywan Sierpińskiego otrzymamy po nieskończenie wielu krokach – czyli po usunięciu nieskończenie wielu kwadratów. Suma pól powierzchni wszystkich usuniętych kwadratów tworzy więc ciąg geometryczny którego suma skończonej ilości wyrazów(ale dużej ilości) będzie równa: a1+a2+ ... +an =
— Jak Konstruuje się Trójkąt Sierpińskiego —
Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny, o długości boku np. 1. Środki boków trójkąta łączymy odcinkami. Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne, każdy o długości boku 1/3. Usuwamy środkowy trójkąt.
Następnie.Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów dzielimy znowu na cztery równe trójkąty. Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów otrzymanych w pierwszym kroku. Usuwamy środkowe trójkąty.
Kolejne kroki są następujące:
W kolejnych krokach postępujemy podobnie jak poprzednio. Po n krokach kwadrat będzie miał, aż 1+3+32+33+ .... +3n-1, dziur, którymi to dziurami są usunięte trójkąty, które są różnej wielkości. Rysunek poniżej pokazuje trójkąt po 5 krokach konstrukcyjnych.
W kolejnych krokach postępujemy podobnie jak poprzednio. Po n krokach kwadrat będzie miał, aż 1+3+32+33+ .... +3n-1, dziur, którymi to dziurami są usunięte trójkąty, które są różnej wielkości. Rysunek poniżej pokazuje trójkąt po 5 krokach konstrukcyjnych.
Zbiór, który otrzymamy po nieskończenie wielu krokach nazywa się Trójkątem Sierpińskiego.
— Jak Konstruuje się Piramidę Sierpińskiego —
Najpierw rysujemy czworościan., Łączymy odcinkami środki krawędzi czworościanu. Usuwamy bryłę, której krawędziami są te odcinki. Powstała i usunięta bryła to ośmiościan foremny.
Najpierw rysujemy czworościan., Łączymy odcinkami środki krawędzi czworościanu. Usuwamy bryłę, której krawędziami są te odcinki. Powstała i usunięta bryła to ośmiościan foremny.
Następnie.Z każdego małego czworościanu usuwamy bryłę, której krawędziami są odcinki łączące środki krawędzi czworościanów otrzymanych w pierwszym kroku. Powstanie piramida, która ma 5 dziur.
Kolejne kroki są następujące:
W kolejnych krokach postępujemy podobnie jak poprzednio. Po n krokach piramida będzie miała, aż 1+4+42+44+ .... +4n-1, dziur, którymi to dziurami są usunięte bryły, które są różnej wielkości. Rysunek poniżej pokazuje piramidę po 5 krokach konstrukcyjnych.
W kolejnych krokach postępujemy podobnie jak poprzednio. Po n krokach piramida będzie miała, aż 1+4+42+44+ .... +4n-1, dziur, którymi to dziurami są usunięte bryły, które są różnej wielkości. Rysunek poniżej pokazuje piramidę po 5 krokach konstrukcyjnych.
Zbiór, który otrzymamy po nieskończenie wielu krokach nazywa się Piramidą Sierpińskiego.
— Jak W 1904 roku szwedzki matematyk Helge von Koch skonstruował dziwną figurę, która z wyglądu przypomina płatek śniegu. —
Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny., o długości boku np. 1. Każdy bok trójkąta dzielimy na trzy równe części i doklejamy do części środkowej, tak jak na rysunku, trójkąt równoboczny o boku trzy razy krótszym. Z trójkąta powstała 12 boczna gwiazda. Każdy jej bok ma długość równą 1/3
Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny., o długości boku np. 1. Każdy bok trójkąta dzielimy na trzy równe części i doklejamy do części środkowej, tak jak na rysunku, trójkąt równoboczny o boku trzy razy krótszym. Z trójkąta powstała 12 boczna gwiazda. Każdy jej bok ma długość równą 1/3
Następnie.Każdy bok gwiazdy dzielimy znowu na trzy równe części i do części środkowej doklejamy trójkąt równoboczny o boku trzy razy krótszym niż poprzednio. Otrzymamy 48 boczną gwiazdę o długości boku 1/9.
Kolejne kroki są następujące:
W kolejnych krokach postępujemy podobnie jak poprzednio. W trzecim kroku powstanie gwiazdka, która ma 3•43=192jednakowej długości boków. Rysunek poniżej pokazuje gwiazdkę po 5 krokach konstrukcyjnych. Gwiazdka ta ma teraz 3•45, czyli 3072 boki. Rysunek poniżej pokazuje piramidę po 5 krokach konstrukcyjnych.
W kolejnych krokach postępujemy podobnie jak poprzednio. W trzecim kroku powstanie gwiazdka, która ma 3•43=192jednakowej długości boków. Rysunek poniżej pokazuje gwiazdkę po 5 krokach konstrukcyjnych. Gwiazdka ta ma teraz 3•45, czyli 3072 boki. Rysunek poniżej pokazuje piramidę po 5 krokach konstrukcyjnych.
Konstrukcję tę możemy powtarzać dowolnie wiele razy. Z powodu ograniczonej rozdzielczości ekranu oraz oka następne obrazki nie będą się już wiele różniły od tego co zobaczyliśmy po 5 krokach. Co się dalej będzie działo możemy już sobie tylko wyobrażać. A jak będzie wyglądała taka 'graniczna' gwiazda po wykonaniu nieskończenie wielu kroków? Okazuje się, że jest to figura o trudnych do wyobrażenia własnościach. Nazywamy ją płatkiem śniegu, bo jest podobna właśnie do niego. Brzeg tej figury nazywa się krzywą Kocha
Płatek śniegu, chociaż powstał z sumowania nieskończenie wielu trójkątów, ma jednak skończone pole. Jego brzeg jest bardzo dziwną krzywą. Ta krzywa ma nieskończoną długość, choć jak mogliśmy to sprawdzić, ogranicza obszar o skończonym polu. Trudno to sobie wyobrazić, ale ta krzywa nie zawiera żadnych odcinków - w każdym swym punkcie ma 'zagięcie', a więc w żadnym swym punkcie nie ma stycznej.
W 1905 roku włoski matematyk Ernesto Cesaro zachwycony wewnętrzną nieskończonością krzywej Kocha napisał:
Gdyby była obdarzona życiem, można by się jej pozbyć tylko niszcząc ją w całości. W przeciwnym razie odżywałaby znowu i znowu, z głębi swych trójkątów, tak jak czyni to życie we Wszechświecie.
Płatek śniegu, chociaż powstał z sumowania nieskończenie wielu trójkątów, ma jednak skończone pole. Jego brzeg jest bardzo dziwną krzywą. Ta krzywa ma nieskończoną długość, choć jak mogliśmy to sprawdzić, ogranicza obszar o skończonym polu. Trudno to sobie wyobrazić, ale ta krzywa nie zawiera żadnych odcinków - w każdym swym punkcie ma 'zagięcie', a więc w żadnym swym punkcie nie ma stycznej.
W 1905 roku włoski matematyk Ernesto Cesaro zachwycony wewnętrzną nieskończonością krzywej Kocha napisał:
Gdyby była obdarzona życiem, można by się jej pozbyć tylko niszcząc ją w całości. W przeciwnym razie odżywałaby znowu i znowu, z głębi swych trójkątów, tak jak czyni to życie we Wszechświecie.
- sortuj według:
-
0 -
0 -
3 -
0
3 plików
3,82 MB
Chomikowe rozmowy
Pokaż wszystkie
Pokaż ostatnie
basia.matyszczak napisano 1.06.2024 18:30
jABLUSZKO55 napisano 1.06.2024 18:56
jABLUSZKO55 napisano 3.06.2024 14:25
Grzecznydiabelek napisano 3.06.2024 19:18
|
Zaprzyjaźnione i polecane chomiki (86)
